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导数

2025-06-16

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文章目录

导数的几何含义#

函数上某一点切线的斜率。

求导公式#

幂函数求导公式

\frac{d(x^n)}{dx}=nx^{n-1}

三角函数

\begin{align} \frac{d(\sin \theta)}{d\theta}=\cos \theta \\ \frac{d(\cos \theta)}{d\theta}=-\sin \theta \end{align}

指数函数的导数和函数本身成正比

d\left( \frac{e^{ct}}{dt} \right) = ce^{ct}

同时, 考虑到

e^{\ln x}=x

这样, 可以得到

\frac{d(x^t)}{dt}=\frac{d}{dt} e^{\ln(x)t}=\ln(x)e^{\ln (x)t}

同样, 考虑函数

\begin{align} y=\ln(x) \\ e^y=x \\ e^ydy=dx \\ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}=x \end{align}

链式求导法则和乘积法则#

加法法则#

和函数的导数是导数的和。

乘法法则#

左乘右导, 右乘左导。

\frac{d(f(x)g(x))}{dx}=f(x)\cdot \frac{dg(x)}{dx} + g(x) \cdot \frac{df(x)}{dx}

复合求导法则(链式法则)#

\frac{d}{dx}g(h(x))=\frac{dg}{dh}(h(x))\cdot \frac{dh}{dx}(x)=\frac{dg}{dh} \frac{dh}{dx}

隐函数求导#

对于

f(x)+g(y) = 0

可以看做

h(x,y) = 0

这样, 左侧函数的微小变化需要等于右侧函数的微小变化

f'(x)dx+g'(y)dy=0

就能自然得出 $\frac{dy}{dx}$ 或 $\frac{dx}{dy}$ 的值。

反函数求导#

导数的几何含义

链式求导法则和乘积法则

复合求导法则(链式法则)

隐函数求导

反函数求导