线性代数基础

Vector Representation#

Dot product#

• In Eucidean Space，
  $\vec{a}\cdot\vec{b}=||\vec{a}||\space||\vec{b}||\cos \theta$

Cross product#

注意, 叉积满足反交换律：

叉乘不满足结合律。

How to find the rotation between vector#

Dodrigues’s Rotation Formula#

Dodrigues’ Rotation Fomula:

注意, 旋转方向的正负由左右手轴决定。针对左右手轴, 公式都是一致的。

同时这个公式也可以写成矩阵的形式(见 Matrix Form of Cross Product)。

Orthogonal Coordinate#

对于满足下面要求的轴满足右手系：

这样可以得出以下的结论：

Matrix Operation#

Matrix Form of Dot Produnct#

Matrix Form of Cross Product#

叉乘可以表达为一个反对称阵的形式：

叉乘也可以用行列式进行表示：

叉乘满足下面的一些性质：

Orthogonal Matrix#

如果矩阵的列向量互相正交，且长度为1，那么该矩阵称之为标准正交矩阵，不要求矩阵满秩。
如果满秩，即 $Q$ 是方阵，称之为正交矩阵(Orthogonal Matrix)。标准正交矩阵有很多好的性质：

• $Q^TQ=I$
• $Qx$ 不改变 $x$ 的长度。$|Qx|^2=(Qx)^TQx=x^TQ^TQx=x^Tx=|x|^2$
• $Q$ 不改变向量点积。$Qx\cdot Qy=(Qx)^TQy=x^TQ^TQy=x^Ty$
• 如果 $Q$ 是方阵, $Q^TQ=QQ^T=I\implies Q^T=Q^{-1}$

Determinant of a Matrix#

行列式的性质：

Eigenvalues and Eigenvetors#

对于矩阵 $A$, 存在一个非零向量 $x$ 满足：

则称 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值, $x$ 为 $A$ 的特征向量。

特别地, 对于 $3\times {3}$ 的正交矩阵 $U$, 它至少有一个特征值 $\lambda=\det U=\pm {1}$

Scaling#

Rotation#

向量 $a$ 经过旋转得到 $a'$, 对于 $a'=Ra$, 则称 $R$ 是 $a\implies a'$ 的旋转矩阵。

旋转矩阵是一个正交矩阵, 满足一些性质：